Kopfrechnen lernen und trainieren

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Auswahl von Aufgaben für das Kopfrechnen:

Was ist das Besondere beim Kopfrechnen?

Das Besondere ist, daß Du nur wenige Hilfsmittel hast. Insbesondere keinen Stift. Und damit musst Du während der Rechnung auch eventuelle Zwischenergebnisse im Kopf behalten.

Die allermeisten Menschen haben Probleme damit, sich eine 7-stellige Telefonnummer auf anhieb zu merken. Nur 7 Ziffern ... die sind bei einer kleinen Rechenaufgabe bereits schnell verbraucht. Zum Beispiel:

  • Zwei Ziffern für die erste Zahl
  • Zwei Ziffern für die zweite Zahl
  • Drei Ziffern für das Ergebnis

Und dann hat man sich noch kein einziges Zwischenergebnis gemerkt.

Im Laufe der Zeit wirst Du beim Üben feststellen, daß es trotzdem immer leichter geht. Du entwickelst mit der Zeit:

  • Ein gutes "Gefühl" für Zahlen und Grössenordnungen
  • Techniken, die Dir erlauben etwas auszurechnen, ohne viele Zwischenergebnisse zu merken
  • Kniffe, mit denen Du manche Ergebnisse "sofort" siehst. Sogar ohne zu rechnen.
Warum sollte ich von links nach rechts rechnen?

Das hat beim Kopfrechnen tatsächlich mehrere Vorteile:

  1. Überschlägig rechnen
  2. Die "wichtigsten" Ziffern sind links. Auch wenn man die Rechnung nicht komplett macht, hat man zumindest ein ungefähres Ergebnis.

    Kopfrechnen wird ja häufig verwendet, wenn man einem Ergebnis nicht vertraut. Beispielsweise beim Bezahlen in einer Gaststätte. Man möchte grössere Rechenfehler vermeiden - auf die letzten Cent kommt es aber nicht unbedingt an.

  3. Das Ergebnis kommt in der richtigen Reihenfolge zustande
  4. Beispiel:

    715 + 414 = 1129

    Wenn man mit der Rechnung rechts beginnt, wird zuerst die 9 berechnet, dann 2, dann 1, dann 1.

    Bei einer Kopfrechnung muß man als nächstes diese Ziffern in die richtige Reihenfolge bringen. Die neue Reihenfolge ist: 1 - 1 - 2 - 9. Und dann muß man sich noch überlegen, wie man das Ergebnis richtig sagt: "ein-tausend-ein-hundert-neun-und-zwanzig".

    Der Schritt von 9 - 2 - 1 - 1 bis zur gesprochenen Antwort "ein-tausend-ein-hundert-neun-und-zwanzig" ist im Kopf sehr schwierig. Man muss das berechnete Ergebnis rückwärts aufsagen.

    Viel einfacher ist es daher, wenn sich bei der Kopfrechnung die Ziffern bereits in der richtigen Reihenfolge ergeben. Und, wenn bereits bei der ersten berechneten Ziffer das Ergebis so weit bekannt ist, daß man beginnen kann es mitzuteilen: "Ein-tausend-und ....."

Wie fange ich an? Wie übe ich richtig?

Nun, die Bedienung des Kopfrechen-Trainers ist ja recht einfach gehalten:

  • Die Übungen löst Du mit der angezeigten Tastatur, die so ähnlich aussieht, wie ein Taschenrechner.
  • Den Aufgaben-Typ wählst Du links im Menu.
  • Die Ballone zeigen die verstrichene Zeit pro Aufgabe an. Wenn die Aufgabe nicht richtig gelöst ist werden sie rot.

Was Dich vermutlich mehr interessiert ist, wie Du beim trainieren am besten vor gehst. Hier habe ich ein paar Tipps ... aber im Prinzip kommt es auf Dich an, was Du möchtest und was Du benötigst.

  • In den folgenden Abschnitten findest Du Kopfrechen-Techniken für die verschiedenen Aufgabentypen.
  • Ich rate dazu anfangs laut zu üben, also beim Kopfrechnen zu sprechen. Das hat zwei Effekte: Wenn Du die Aufgabe sagst prägen sich die Zahlen bereits ein. Und wenn Du sprichst gehst Du bei der Lösung automatisch schrittweise vor.
  • Sicherheit ist wichtiger als Geschwindigkeit.
  • Fange am besten mit der Addition an. Das ist die Basis.
  • Die folgenden Abschnitte stellen eine bewährte Lern-Reihenfolge dar. Die Aufgaben bauen aufeinander auf.

Das Ziel des ersten Abschnitts "Kopfrechnen - einfach erklärt" ist es, in allen Grundrechenarten stabil mit 2-stelligen Zahlen zu rechnen. Bei der Multiplikation ist dieses Ziel bereits durchaus anspruchsvoll, obwohl wir es mit den effektivsten Methoden angehen und mit einfacheren Aufgaben beginnen.

Addition

Die Methode für das Kopfrechnen kann man am besten üben, wenn man die Rechenschritte spricht. Ein Beispiel:

Aufgabe: 35 + 47 =

# Gesprochen Erklärung
1 "35 plus 47 ist ..." Beim Sprechen der Aufgabe prägen sich die Zahlen ein.
2 "75 plus 7 ist ..." In diesem Schritt hast Du zu 35 erst einmal 40 hinzugefügt. Das sind 75.
Und 7 sind noch übrig.
3 "82" Die 75 + 7 hattest Du Dir im 2ten Schritt eingeprägt, indem Du gesprochen hast. Und diese Aufgabe kannst Du im Kopf lösen.

Du fängst also mit den Ziffern ganz links an - sprichst jedes Zwischenergebnis - und arbeitest Dich nach rechts vor.

Subtraktion

Bei der Subtraktion kann man genau so von links nach rechts vorgehen, wie bei der Addition. Aber, Du wirst merken, dass Dir abziehen schwerer fällt als zusammenzählen. Ein kleiner "Trick" wäre also willkommen.

Eine gute Strategie ist es, schwierige Aufgaben in mehrere Leichtere zu unterteilen. Und bei der Subtraktion gibt es eine prima Möglichkeit, die Dir beim Kopfrechnen hilft. Das erkläre ich an einem Beispiel:

Aufgabe: 753 - 288 =

Diese Aufgabe fällt schwer, da sie Überträge erfordert. Überträge sind im schriftlichen Rechnen kein Problem: Die "1 gemerkt" wird einfach hingeschrieben - und damit nicht mehr vergessen. Aber beim Kopfrechnen sind Überträge lästig.

Der neue Lösungsweg erfordert 2 Schritte. Im ersten Schritt wird vorsorglich zu viel abgezogen. Als Lohn dafür musst Du Dich im Moment auch nur um eine einzige Ziffer kümmern (Die Nullen belasten Dich ja nicht):

753 - 300 = 453 (Zwischen-Ergebnis)

Das war einfach. Aber jetzt muss man im 2ten Schritt nachbessern. Statt 288 wurden 300 abgezogen. Also 12 zu viel. Die Korrektur ist daher:

453 + 12 = 465 (Ergebnis)

Glücklicherweise ist es so, daß der 2te Schritt einfacher ist, als er aussieht. Die kleinere Zahl (288) wird zur nächsten Hunderter-Zahl ergänzt. Und das geht fast ohne Anstrengung. Mit etwas Übung sieht man fast auf den ersten Blick, daß da nur noch 12 fehlen. Auf alle Fälle ist dieses "hochzählen" im Kopf viel einfacher als von einer grossen Zahl 288 abzuziehen.

Allerdings erfordert dieses Rechenschema etwas Übung. Bei 3-stelligen Zahlen ist die Vereinfachung deutlich. Aber auch 2-stellige Zahlen gehen so schneller. Das folgende Beispiel verwendet die 2-stellige Aufgabe: 92 - 37 =

# Gesprochen Erklärung
1 "92 minus 37 ist ..." Die Aufgabe prägt sich ein
2 "92 minus 40 ..." Die kleinere Zahl wird aufgerundet. Du ziehst zu viel ab, brauchst Dich aber nur um eine einzige Stelle - die 4 - zu kümmern.
3 "ist 52 ... plus 3 ist ..." Der Korrekturschritt. Die 3 berechnest Du im stillen, in dem Du von 37 aus zur 40 "hochdenkst".
4 "55" Ergebnis

Du fängst also wieder mit den "wichtigsten" Ziffern an - und hast nach dem ersten Rechenschritt bereits eine ungefähre Vorstellung vom Ergebnis.

Zum Üben solltest Du dieses Schema so oft wie möglich anwenden. Du merkst von alleine - es gibt Fälle, in denen die direkte Rechnung einfacher geht. Beispielsweise 502 - 301 wirst Du besser direkt lösen. Aber erst dann, wenn Du den neuen Rechenweg sicher beherrschst kannst Du bei einer neuen Aufgabe sofort erkennen, ob sich die neue Methode in diesem Fall auch lohnt.

Multiplikation - Mal-nehmen mit einer einstelligen Zahl

Die Multiplikation mit einer einstelligen Zahl ist bereits eine kleine Herausforderung beim Kopfrechnen, da verschiedene Rechenarten kombiniert werden müssen. Und vor allem, weil man es nicht vermeiden kann, daß man sich Zwischenergebnisse eine Weile merkt.

Auch bei der Multiplikation bewährt es sich, wenn man beim Kopfrechnen von links nach rechts vorwärtsgeht. Das Ziel der Strategie ist es:

  • die Anzahl der zu merkenden Zwischenergebnisse klein zu halten
  • die Merkvorgänge zeitlich zu begrenzen (möglichst nur bis zum folgenden Rechenschritt)

Beispiel-Aufgabe: 43 * 7 =

Von links nach rechts ... das bedeutet: Du beginnst mit 40 * 7. Dafür genügt das kleine 1x1 - und eine angehängte Null.

40 * 7 = 280. Die 280 müssen gemerkt werden. Denn die nächste Rechnung ist 3 * 7 = 21.

Das Endergebnis ergibt sich aus 280 + 21 = 301. Diese Multiplikation gelingt im Kopf also nur, wenn die Addition flüssig beherrscht wird.

Bei der Multiplikation ist es besonders lohnend, laut zu trainieren. Gesprochene Zahlen prägen sich leichter ein. Mit etwas Übung geht es dann aber auch ohne "murmeln". Beispiel 327 * 3 =

# Gesprochen Erklärung
1 "327 mal 3 ist"
2 "900 ... plus 3 mal 27"
3 "960 ... plus 3 mal 7" Das "Sprechen" dient nur noch dem Merken der wichtigen Zwischenergebnisse. Die Teilaufgaben 3 * 20, sowie 900 + 60 gehen durch die bisherigen Übungen bereits ohne Anstrengung.
4 "981" Ergebnis

Du siehst: Es baut aufeinander auf. Ich empfehle, daß Du den Schwierigkeitsgrad beim Kopfrechnen nicht zu rasch steigerst. Eine gute Reihenfolge bei der Multiplikation im Kopf ist:

  • 2-stellig mal 1-stellig
  • 3-stellig mal 1-stellig
  • diverse Vereinfachungsmöglichkeiten, wie "Multiplikation mit 11"
  • schwierigere Aufgaben

Division - Teilen durch eine einstellige Zahl

Die Teilen durch eine einstelligen Zahl trainiert die Merkfähigkeit noch etwas mehr, als das Multiplizieren. Die Rechenschritte sind etwas komplexer. Aber mit etwas Übung kein Problem.

Das Kopfrechnen funktioniert bei der Division so ähnlich wie Du es vom schriftlichen Rechnen her kennst. Denn auch beim schriftlichen Rechnen geht man von links nach rechts vor. Es gibt nur einen kleinen Unterschied ...

Beispiel-Aufgabe: 161 : 7 =

Nun: Wie oft geht die 7 in die 16 ? Das ist die altbekannte Frage.

2 Mal. Beim Kopfrechnen gehst Du an dieser Stelle am besten einen kleinen Schritt weiter und überlegst Dir gleich die Grössenordnung vom Ergebnis. Ist das Ergebnis eine "Einer-Zahl", eine "Zehner-Zahl" oder eine "Hunderter-Zahl"?

Natürlich ... das Ergebnis ist irgendetwas mit "Zwanzig ...". Und die Zwanzig merkst Du Dir gut.

Den folgenden Rechenweg führst Du im Kopf durch:

20 * 7 = 140

161 - 140 = 21

21 : 7 = 3

Die 20 hast Du in diesem Rechengang nochmals verwendet. Und das war wichtig. Dadurch hat sie sich noch besser eingeprägt. Und jetzt - nach dieser Kopfrechnung - kannst Du das Ergebnis einfach sagen: Drei-und-zwanzig.

Multiplizieren mit 11 - fast ohne zu rechnen

Multiplikationen mit 11 gehen besonders schnell. Bei der Multiplikation einer 2-stelligen Zahl mit 11 kann man das Ergebnis quasi sofort aussprechen.

Beispiel-Aufgabe: 42 : 11 = 462

Der Trick ist ganz einfach: 42 hat zwei Ziffern. Die Summe der beiden Ziffern 4 + 2 = 6 denkt man sich zwischen die beiden Ziffern: also 4 6 2. So macht Kopfrechnen Spaß!

Eine kleine Idee schwieriger wird es nur mit Übertrag.

Beispiel-Aufgabe: 68 * 11 = 748

Die Summe der beiden Ziffern ist 6 + 8 = 14. Die 4 kommt in die Mitte zwischen 6 und 8, so wie oben. Und die 1 ist ein Übertrag. Aus der 6 wird eine 7.

Die Rechenreihenfolge ist zusammengefasst also: 6 8 >> 6 4 8 >> 7 4 8

Und ... geht dieser Kopfrechen-Trick auch bei 3-stelligen Zahlen?

Beispiel-Aufgabe: 415 * 11 = 4565

Die Ziffern des Ergebnisses berechnen sich so:

  • Die erste Ziffer bleibt unverändert: 4
  • Es folgt die Summe der ersten beiden Ziffern: 5
  • Es folgt die Summe der letzten beiden Ziffern 6
  • Die letzte Ziffer bleibt unverändert: 5

Dieser Trick erleichtert natürlich das Multiplizieren mit 11er Zahlen. Wird als Aufgabe zum Kopfrechnen 42 * 33 verlangt, dann können wir das jetzt vereinfachen zu:

42 * 11 * 3 = 462 * 3 = 1386

Quadrieren im Schnellverfahren

Ich wünsche mir für das Kopfrechen wirkungsvolle Methoden, die man sehr vielseitig anwenden kann. Die folgende Methode zum Quadrieren ist ein gutes Beispiel. Sie kann in ähnlicher Weise auch noch für andere Kopfrechnungen verwendet werden.

Erste Aufgabe:

48 * 48 = ?

Ist das ungefähr 48 * 50 ? Das ist sicher zu viel. Also vielleicht 46 * 50 ? Schon besser. Wenn man diesen Faden weiter spinnt lässt sich 48 * 48 in zwei einfachere Aufgaben umzuwandeln:

  1. Multiplikation mit einer 1-stelligen Zahl ( * 5 und angehängte Null )
  2. Addition einer kleinen Zahl

Zu beachten ist: Auch der Schätzwert is in vielen Fällen bereits hilfreich. Aber heute wollen wir es genauer wissen:

Wie findet man die im Kopf leichter zu lösenden Aufgaben ? Stelle Dir einen Meterstab vor:

  • Mache bei 48 cm einen Strich
  • Der Strich ist genau zwischen 46 und 50 (50 ist die nächste runde Zahl!)
  • Die 50 ist 2 cm weg. Berechne 2 * 2 = 4
  • Stelle Dir die 46, 50 und 2 vor und bilde dann die Aufgabe: 46 * 50 + 4

Du berechnest also 46 * 5 = 23 * 10 = 230, dann noch eine Null anhängen, und plus 4. Ergebnis 2304.

Noch ein Beispiel:

43 * 43 = 40 * 46 + 9

Stelle Dir wieder einen Meterstab vor:

  • Mache bei 43 cm einen Strich
  • Der Strich ist genau zwischen 40 und 46 (40 ist die nächste runde Zahl!)
  • Die 40 ist 3 cm weg. Berechne 3 * 3 = 9
  • Stelle Dir die 40, 46 und 3 vor und bilde dann die Aufgabe: 40 * 46 + 9

Beispiel: Vereinfachung für 5-er Zahlen:

45 * 45 = 40 * 50 + 25

Bei 5-er Zahlen sind im Abstand 5 in beide Richtungen runde Zahlen. Das vereinfacht die Rechnung zu einer Multipliation von 4*5 (mit 2 angehängten Nullen). Das Quadrieren im Kopf mit 5-er Zahlen funktoniert mit dem gleichen Schema - es geht nur etwas schneller:

  • Mache bei 45 cm einen Strich
  • Der Strich ist genau zwischen 40 und 50
  • Die 40 ist 5 cm weg. 5 * 5 = 25
  • Bilde dann die Aufgabe: 40 * 50 + 25

Das Ganze geht natürlich auch bei 3-stelligen und grösseren Zahlen:

389 * 389 = 378 * 400 + 11 * 11

Du siehst: Beim "Kopfrechnen lernen" entwickelst Du mit der Zeit eine Kreativität im Umgang mit Zahlen. Oft gibt es mehrere Wege zum Ziel. Die Kunst besteht darin schnell den einfachsten Weg zu sehen.

Multiplikation mit der Referenzmethode

Wenn das Quadrieren geklappt hat ist die Referenzmethode kein Problem. Wir verwenden im Prinzip die gleiche Methode wie beim Quadrieren. Und das ist das schöne daran. Es ist nicht notwendig sich viele einzelne Tricks zu merken um das Kopfrechnen zu lernen.

Erste Aufgabe:

48 * 47 = ?

Wir halten so wie beim Quadrieren Ausschau nach der nächsten runden Zahl und legen mit einem guten Schätzwert los:

48 * 47 = 50 * 45 + ...

... nur eine kleine Korrektur fehlt noch! Aber: selbst wenn wir hier aufhören, sind wir bereits dicht dran. Wir haben bei der ersten Zahl 2 dazugezählt, und das selbe zur Kompensation bei der anderen Zahl abgezogen. Als nächstes prüfen wir den Abstand von beiden Zahlen zu 50:

48 + 2 = 50
47 + 3 = 50

Die beiden Abstände liefern den Korrekturwert ... + 2 * 3 .

Der Lösungsweg zusammengefasst ist:

48 * 47 =
50 * 45 + ... = 2250 +/-2 bei den beiden Zahlen
... + 2 * 3 = 2259 plus dem Produkt der Abstände zur runden Zahl

Die runde Zahl wird oft auch "Referenzzahl" genannt. Und diese Methode zum Kopfrechnen ist daher die "Referenzmethode".

Nächste Aufgabe, bereits mit Lösungsweg:

42 * 47 =
40 * 49 + ... = 1960 +/-2 bei den beiden Zahlen
... + 2 * 7 = 1974 plus dem Produkt der Abstände zur runden Zahl

Achtung: Jetzt kommt ein anderer Fall. Die runde Referenzzahl liegt zwischen den beiden Faktoren. In diesem Fall wird im letzten Schritt die Korrektur abgezogen.

37 * 52 = Man könnte 40 oder 50 als Referenzzahl wählen
39 * 50 - ... = 1950 +/-2 bei den beiden Zahlen
... - 13 * 2 = 1924 MINUS dem Produkt der Abstände zur runden Zahl

Die Referenzmethode lässt sich am besten anwenden, wenn die Faktoren relativ nahe beieinander liegen. Für 2-stellige Zahlen gilt: Ein Abstand zwischen den Faktoren < 20 führt immer zu einer leichten Lösung.

Kreuzmultiplikation

Die Kreuzmultiplikation ist die effizienteste Methode um beliebige 2-stellige Zahlen im Kopf zu multiplizieren.

Beispiel:

23 * 81 = ?

Für die Referenzmethode liegen die Faktoren zu weit auseinander. Also verwenden wir hier zum Kopfrechnen die Ferrol'sche Kreuzmethode. Sie ist benannt nach dem Autor von "Das Ferrol'sche neue Rechnungsverfahren".

Die Grundidee ist, dass man sich nacheinander um die Zehner, die Hunderter und die Einer kümmert:
- Die Anzahl Einer ergibt sich aus der Multiplikation der letzten Ziffern.
- Die Anzahl Hunderter aus der Multiplikation der ersten Ziffern.
- Und zur Berechung der Zehner muss man über Kreuz die Einer- und Zehner-Ziffern der beiden Zahlen multiplizieren.

Man benötigt im Prinzip also nur 3 Rechenschritte. Herr Ferrol schlägt in seinem Buch vor, in diesem Fall mit dem kompliziertesten Rechenschritt zu beginnen. Das ist die Berechung des Kreuzterms.

Ich empfehle auch hier, das Verfahren zu üben, indem man sich die Rechenschritte sagt:

# Gesprochen Erklärung
"23 mal 81 ist ..." Aufgabe
1 "3 mal 8 ist 24 ..."
".. plus 2 mal 1 ist 26" 26 Zehner: Das ist das Ergebnis des Kreuzterms (von dem die Methode ihren Namen hat)
".. ist 260" Zwischenergebnis einprägen !
2 "2 mal 8 ist 16 ... ist 1600" 16 Hunderter: Gesprochen wird "sechzehn hundert"
".. und 260 ist 1860" Zwischenergebnis "Achtzehn hundert sechzig"
3 " .. und 3 mal 1 ist 1863" Ergebnis: Achtzehn hundert drei-und-sechzig

Die Sprechweise dient dazu, dass beim Kopfrechnen die Überträge einfacher werden. - "sechzehn-hundert plus zwei-hundert" ist im Kopf einfacher als - "eintausend-sechs-hundert plus zwei-hundert"

Überhaupt ist es das Ziel der Methode die notwendige Merkarbeit zu minimieren. Nur so wird es nach ausreichender Übung möglich mit noch grösseren Zahlen im Kopf zu rechnen.

Gruppieren - eine Methode um mit 4-stelligen Zahlen zu rechnen

Die Methode des Gruppierens wird am Beispiel der Addition verwendet, ist aber sinngemäß auch auf andere Rechenarten übertragbar.

12,15 EURO ist eine 4-stellige Zahl - mit einem Komma. Durch das Komma wird die Zahl etwas übersichtlicher. Wenn wir im Kopf 4-stellige Zahlen addieren denken wir uns das Komma. Dann geht es einfacher.

Das Beispiel ...

3467 plus
2844 = ?

... denken wir uns folgendermassen

34,67 plus
28,44 = ?

Durch die Gruppierung zerlegen wir die Aufgabe in kleinere Häppchen. Und wir fangen wieder links an: Zuerst berechnen wir 34 + 28 und denken uns 2 Nullen. Das (noch) ungefähre Ergebis kannst Du schon aussprechen: " ... ist sechs-tausend zwei-hundert ...". Damit prägst Du Dir den Anfang der Lösung ein.

Du siehst Dir dann die nächste Gruppe an. 67 + 44 = ... . Da die Summe grösser als 100 ist (was Du inzwischen sofort siehst) verbesserst Du das letzte Ergebnis zu: " ... ist sechs-tausend drei-hundert ..." und denkst nochmals kurz nach.

Dann kannst Du das Ergebniss nennen: " ... ist sechs-tausend drei-hundert und elf. ".

Das Gruppieren hilft Dir beim Kopfrechnen, denn dadurch reduzierst Du die Anzahl der notwendigen Rechenoperationen. Eine 4-stellige Addition lässt sich so in 2 Haupt-Schritten bewältigen. Und Du musst nur 1 Mal an einen Übertrag denken. Das schrittweise Vorgehen von links nach rechts hilft Dir, daß Du am Ende das Ergebnis einfach aufsagen kannst.

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